← Handbuch StarAberrationDiagnostics, Kapitel 9: Koma und Kollimation

Koma - wie sie entsteht

Warum Sterne am Bildrand zu kleinen Kometen werden, wie stark das ist, was ein Korrektor damit macht und wie eine Dejustage das Bild verschiebt. Die Abbildungen sind aus der Optik berechnet, nicht gezeichnet.

Gilt für Teleskope mit parabolischem Hauptspiegel. Alles Folgende - Strahlengang, Formeln, Tabelle und Simulator - beschreibt die Koma eines Parabolspiegels. Das sind vor allem:

Newton-Teleskope, auch als Dobson, ohne oder mit Komakorrektor (ihre übrigen typischen Fehler beschreibt die Seite Typische Fehler eines Newton-Teleskops);
Newton-Astrographen mit fest eingebautem Korrektor (deren Restkoma folgt Kapitel 5);
klassische Cassegrains (parabolischer Haupt-, hyperbolischer Fangspiegel): Sie haben dieselbe Koma wie ein Parabolspiegel mit dem Öffnungsverhältnis des Gesamtsystems.

Nicht gemeint sind Systeme, deren Koma anders entsteht oder bereits korrigiert ist: Ritchey-Chrétien und andere aplanatische Systeme (z. B. EdgeHD) sind im Feld weitgehend komafrei, Schmidt-Cassegrains mit sphärischem Hauptspiegel und Refraktoren folgen anderen Formeln. Bei allen kann eine Dejustage (Kapitel 6) trotzdem Koma erzeugen.

1.Was man sieht

In der Bildmitte ist der Stern rund. Je weiter er von der Mitte entfernt ist, desto mehr bekommt er einen hellen Kern mit einem schwachen, fächerförmigen Schweif, der von der Bildmitte weg zeigt. Der Fächer wächst linear mit dem Abstand: doppelt so weit außen, doppelt so lang.

Abbildung 1 - Derselbe Stern an drei Stellen des Sensors, berechnet für einen Newton f/4 mit 800 mm Brennweite ohne Komakorrektor, 2,5″ Seeing. Jede Kachel zeigt 220 × 220 µm; die Bildmitte liegt links.

2.Auf der Achse perfekt, daneben nicht

Ein Parabolspiegel hat eine besondere Eigenschaft: Er bündelt Licht, das parallel zur Achse einfällt, exakt in einem Punkt - das ist geradezu die Definition der Parabel. Für einen Stern genau auf der Achse gibt es deshalb keinen Abbildungsfehler, ganz gleich wie schnell der Spiegel ist.

Abbildung 2 - Exakter Strahlengang für einen Stern auf der Achse. Die Farben stehen für die Zonen des Spiegels, von innen (blau) nach außen (orange); alle treffen sich im Brennpunkt. Gezeichnet ohne Fangspiegel.

Fällt das Licht schräg ein, ist die Symmetrie gebrochen. Jedes Strahlenpaar aus einer Zone (oben und unten am Spiegel) trifft sich zwar noch an einem Punkt - aber dieser Punkt liegt umso weiter vom Bildpunkt des Hauptstrahls (weiß, durch die Spiegelmitte) entfernt, je weiter außen die Zone liegt. Der Ausschnitt zeigt es:

Abbildung 3 - Derselbe Spiegel, der Stern 5° neben der Achse. Im vergrößerten Ausschnitt treffen sich die Strahlen jeder Zone an einem eigenen Punkt; die äußeren Zonen (orange) landen am weitesten vom Hauptstrahl (weiß) entfernt. Zur Verdeutlichung ist der Spiegel mit f/1,5 stark übertrieben schnell.

Anders gesagt: Jede Zone des Spiegels bildet mit einem etwas anderen Maßstab ab. Ein optisches System, bei dem alle Zonen denselben Maßstab haben, erfüllt die Abbe'sche Sinusbedingung und heißt aplanatisch. Der Parabolspiegel verletzt sie, und die Folge dieser Verletzung ist genau die Koma.

3.Aus Zonen werden Kreise

Die Abbildung 3 zeigt nur einen Schnitt durch den Spiegel. Betrachtet man eine ganze Zone - einen Ring auf dem Spiegel -, dann bildet sie den Stern nicht als Punkt, sondern als Kreis ab, den Komakreis. Für Koma dritter Ordnung landet der Strahl aus der Zone ρ (0 = Mitte, 1 = Rand der Öffnung) beim Winkel φ auf dem Spiegel an der Stelle

Δ_r = C · ρ² · (2 + cos 2φ) radial, von der Bildmitte weg

Δ_t = C · ρ² · sin 2φ quer dazu

gemessen vom Bildpunkt des Hauptstrahls aus; C ist die Stärke der Koma an dieser Feldposition (Kapitel 4)

Daraus folgt die ganze Gestalt des Kometen:

Jede Zone ergibt einen Kreis mit dem Radius C·ρ², dessen Mittelpunkt um 2·C·ρ² nach außen verschoben ist. Äußere Zonen: große, weit verschobene Kreise; innere Zonen: kleine Kreise nahe am Kern.
Weil Radius und Versatz im selben Verhältnis wachsen, berühren alle Kreise dieselben zwei Geraden: Sie liegen in einem Keil von 60°.
Wegen des doppelten Winkels 2φ läuft ein Strahl, der die Zone einmal umrundet, den Komakreis zweimal ab. Gegenüberliegende Punkte der Zone landen auf demselben Bildpunkt.
Die inneren Zonen konzentrieren ihr Licht auf winzige Kreise: Das ergibt den hellen Kern. Die äußeren Zonen tragen zwar am meisten Licht, verteilen es aber auf große Kreise: Das ergibt den schwachen Fächer.

Abbildung 4 - Links die Öffnung mit vier Zonen und acht Punkten auf der äußeren Zone, rechts deren Bilder. Jede Zone wird zu einem Kreis; die Punkte 1 und 5, 2 und 6 usw. treffen sich. Alle Kreise liegen im 60°-Keil, der Kern am Hauptstrahl.

Der Komet ist damit 3·C lang (radial, „tangentiale Koma“) und 2·C breit („sagittale Koma“ ist C, der Radius des größten Kreises).

4.Wie stark ist die Koma?

Für einen Parabolspiegel hängt die Stärke nur vom Abstand h des Sterns von der optischen Achse in der Brennebene und vom Öffnungsverhältnis N = f/D ab:

C = h / (16 · N²), Länge des Kometen = 3 · C = 3 h / (16 N²)

als Winkel am Himmel: 3 · θ / (16 N²), θ = Feldwinkel des Sterns

linear in h, quadratisch in 1/N: f/4 hat bei gleichem h viermal so viel Koma wie f/8

Bemerkenswert: Bei gleicher Position auf dem Sensor hängt die Länge in Mikrometern nicht von der Brennweite ab, nur von N. Typische Werte (in Pixeln für 3,76 µm, z. B. IMX571):

Abstand h von der Achse	f/4	f/5	f/8
5 mm	59 µm · 16 px	38 µm · 10 px	15 µm · 4 px
10 mm	117 µm · 31 px	75 µm · 20 px	29 µm · 8 px
14,1 mm (Ecke APS-C)	165 µm · 44 px	106 µm · 28 px	41 µm · 11 px
21,6 mm (Ecke Vollformat)	253 µm · 67 px	162 µm · 43 px	63 µm · 17 px

Zum Vergleich: Ein gut fokussierter Stern hat bei 2 - 3″ Seeing und 800 mm Brennweite eine FWHM von etwa 10 µm. Bei f/4 übertrifft die Koma das Seeing schon wenige Millimeter neben der Achse; das komafreie Feld eines schnellen Newtons ist winzig. Bei f/8 bleibt der Komet auch in der Ecke eines APS-C-Sensors deutlich kleiner.

5.Der Komakorrektor und sein Abstand

Ein Komakorrektor ist ein Linsensystem vor dem Sensor, das selbst Koma erzeugt - mit umgekehrtem Vorzeichen und ebenfalls linear in h. Im richtigen Abstand zum Sensor heben sich beide auf, über das ganze Feld. Im falschen Abstand bleibt ein Rest, der wieder linear mit h wächst:

Unterkorrigiert - der Spiegel überwiegt: Die Fächer zeigen wie ohne Korrektor von der Mitte weg, nur kürzer. Nach der Faustregel aus Kapitel 8 des Handbuchs ist der Abstand Korrektor-Sensor dann zu klein.
Überkorrigiert - der Korrektor überwiegt: Die Fächer zeigen zur Bildmitte hin. Der Abstand ist dann eher zu groß.

Welche Richtung genau gilt, hängt vom Korrektor ab; die Anleitung des Herstellers hat das letzte Wort. Im Simulator (Kapitel 7) lassen sich beide Fälle einstellen.

6.Dejustage: der komafreie Punkt wandert

Ein verkippter Haupt- oder Fangspiegel, ein dezentrierter oder schief sitzender Korrektor fügt dem Bild eine Koma hinzu, die über das ganze Feld gleich ist - gleiche Stärke, gleiche Richtung. Zusammen mit der Feldkoma, die linear mit dem Ort wächst, ergibt sich

Koma(P) = k · (P − P₀) / R

P Position auf dem Sensor, R halbe Diagonale, k Stärke und Vorzeichen der Feldkoma, P₀ komafreier Punkt

Der konstante Anteil verschiebt also nur den Punkt, an dem die Koma verschwindet: von der Bildmitte zu P₀. Ohne Korrektor ist P₀ die optische Achse - liegt sie neben der Bildmitte, ist das Teleskop dejustiert (Handbuch, Kapitel 9; wie man einen Newton kollimiert, steht unter Typische Fehler eines Newton-Teleskops). Ist die Feldkoma gut korrigiert (k ≈ 0), bleibt dagegen nur der konstante Anteil: Alle Sterne haben dann einen Fächer in dieselbe Richtung. Das kann auf den ersten Blick wie ein Nachführfehler aussehen, ist aber einseitig (Kern und Schweif), während die Nachführung Sterne symmetrisch in die Länge zieht (Handbuch, Kapitel 5).

7.Simulator

Jede Kachel zeigt einen Stern an der entsprechenden Stelle des Sensors (Ecken, Kanten, Mitte), berechnet aus 40 000 Strahlen durch zufällige Punkte der Öffnung nach den Formeln aus Kapitel 3, plus Seeing. Ein kleiner Pfeil in jeder Kachel zeigt zur Bildmitte.

Öffnungsverhältnis: Brennweite: Seeing (FWHM): Sensor Korrektor Kachelbreite: Dejustage x: Dejustage y: Pixelgröße: Pixelraster des Sensors zeigen

Modell: Koma dritter Ordnung eines Parabolspiegels, der Korrektor als Faktor auf die Feldkoma, die Dejustage als konstanter Komaanteil, Seeing als Gaußprofil. Beugung, Astigmatismus, Bildfeldwölbung und Fokusfehler sind weggelassen - echte Sterne sind entsprechend etwas komplizierter.

8.Was StarAberrationDiagnostics daraus macht

Der PSF-Fit (Gauß oder Moffat) ist punktsymmetrisch und sieht den Fächer nicht. Das Script misst deshalb an den Pixeln jedes Sterns das dritte Moment m₃, das das Licht im Fächer stark gewichtet und in dessen Richtung zeigt. An die Vektoren aller Sterne passt es genau das Modell aus Kapitel 6 an und erhält k (Stärke und Vorzeichen: unter- oder überkorrigiert) und den komafreien Punkt P₀ (Kollimation). Die Einzelheiten stehen im Handbuch, Kapitel 9.

9.Exkurs: Ordnungen und die Seidel'schen Fehler

Die „dritte Ordnung“ in den Kapiteln 3 und 7 stammt aus der klassischen Fehlertheorie. Man entwickelt den Versatz eines Strahls vom idealen Bildpunkt in eine Potenzreihe in zwei Größen: dem Abstand h des Sterns von der Achse und der Zone ρ der Öffnung, durch die der Strahl geht. Die Ordnung eines Terms ist die Summe der Exponenten.

1. Ordnung - Terme linear in h oder ρ: Sie sind noch kein Fehler, sondern die ideale (paraxiale) Abbildung mit Brennweite und Maßstab. Einziger „Fehler“ hier ist ein falscher Fokus: Er versetzt jede Zone proportional zu ρ, der Stern wird zum Scheibchen.
2. Ordnung - gibt es in einem rotationssymmetrischen System nicht. Dreht man h und ρ gemeinsam um, muss sich auch der Versatz umkehren; deshalb bleiben nur ungerade Ordnungen übrig.
3. Ordnung - die ersten echten Fehler, 1856 von Ludwig von Seidel beschrieben:

Abbildung 5 - Wohin die Strahlen aus sechs Zonen der Öffnung bei jedem der fünf Fehler fallen (blauer Kreis: idealer Bildpunkt). Die Verzeichnung lässt den Stern scharf und verbiegt stattdessen das Raster.

Term	Fehler	Erkennungsmerkmal
ρ³	sphärische Aberration	überall gleich, auch in der Bildmitte; Fokus „schwammig“
h·ρ²	Koma	wächst linear zum Rand, einseitiger Fächer
h²·ρ	Astigmatismus	wächst quadratisch zum Rand, Sterne zu Strichen, die sich beim Fokussieren um 90° drehen
h²·ρ	Bildfeldwölbung	scharfe Mitte, gleichmäßig weicher Rand (Handbuch, Kapitel 7)
h³	Verzeichnung	Sterne scharf, aber an der falschen Stelle (kissen- oder tonnenförmig)

Ein Parabolspiegel ist frei von sphärischer Aberration; von den übrigen dominiert bei ihm die Koma, weil sie als einziger Feldfehler nur linear mit h wächst. Die 5. Ordnung (z. B. h·ρ⁴, h³·ρ²) wird erst bei sehr schnellen Spiegeln oder großen Feldwinkeln sichtbar; die exakt berechneten Strahlen in Abbildung 3 enthalten sie, die Formeln und der Simulator nicht.

Andere Zählweise: Manche Bücher zählen die Ordnung nicht am Strahlversatz, sondern an der Wellenfront, die eine Potenz höher ist. Dieselbe Koma heißt dort „Term 4. Ordnung“ oder primäre Koma.

Wenn die Symmetrie bricht: Ein verkippter oder dezentrierter Spiegel erlaubt Terme, die sonst verboten wären - etwa eine über das Feld konstante Koma (Kapitel 6) oder eine quadratische Verzeichnung. Genau diese quadratischen SIP-Terme vergleicht StarAberrationDiagnostics beim Meridian-Flip (Handbuch, Kapitel 12).